TECNICAS DE CONTEO
Logro: Contar puntos muestrales por medio del diagrama de árbol, la regla de la multiplicación y mediante fórmulas de permutaciones y combinatorias.
En el cálculo de probabilidades es necesario contar con ciertos mecanismos que nos permitan obtener el número de veces de ocurrencia de suceso, en forma rápida y con un mínimo de riesgos de equivocaciones, para ello utilizamos las técnicas de conteo, entre las cuales tenemos:
a. REGLA DE MULTIPLICACION:
Algunos de los problemas de probabilidad tienen solución a través de la aplicación de la regla de la multiplicación.
Ejm: María, vive en Tutunendo y necesita desplazarse hasta managrú; para esto cuenta con dos rutas, rapidochoa y las escaleras, que la traerán a Quibdó, una vez llega a Quibdó tiene tres opciones para elegir: occidental, transprogreso, transpacífico, una vez llegada a la Y puede elegir entre 2 opciones el chivero o la moto- taxi. La pregunta que se hace María es ¿de cuantas maneras o rutas podría María llegar a managrú?
Las alternativas que tiene María son:
Rapidochoa-occidental-Chivero
Rapidochoa-occidental-moto-taxi
Rapidochoa-Transprogreso-chivero
Rapidochoa-Transprogreso-moto taxi
Rapidochoa-transpacífico-Chivero
Rapidochoa-transpacífico-moto-taxi
Escalera-occidental-chivero
Escalera-occidental- moto-taxi
Escalera Transprogreso-chivero
Escalera-Transprogreso-moto taxi
Escalera-Transpacífico- chivero
Escalera-transpacífico- moto-taxi
. . Tutunendo.
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Rapidochoa. . Escaleras
. . . .
. Quibdó.
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Occidental. Transprogreso Transpacífico
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. La Y
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Chivero. . Moto-taxi
. .
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Managrú
En total tiene 12 maneras o rutas para elegir. Aplicando la técnica de la multiplicación tenemos 2 x 3 x 2 = 12
b. DIAGRAMA DE ARBOL
Es una forma muy sencilla de mostrar la secuencia de las operaciones que se pueden realizar.
Considerando el ejemplo anterior:
Chivero
Transpacífico moto taxi
Rapidochoa
Occidental Chivero
Moto taxi
Transprogreso chivero
Moto taxi
Tutunendo
Transpacífico Chivero
Moto taxi
Escalera Occidental chivero
Moto taxi
Transprogreso Chivero
Moto taxi
Igual que el método anterior 12 opciones.
c.REGLA DEL EXPONENTE:
Es una forma muy sencilla para determinar el número de casos posibles, en algunos casos de probabilidad.
Supongamos el lanzamiento de una moneda, en el cual se tendrán dos resultados, cara o sello. Este valor tendrá como exponente al número de lanzamiento que hagamos.
En un lanzamiento será : 21 = 2 casos posibles
En dos lanzamientos será: 22 = 4 casos posibles
En tres lanzamientos será: 23 = 8 casos posibles
En cuatro lanzamientos será: 24 = 16 casos posibles, etc.
Que se tiene en el lanzamiento de 3 dados?
c. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES:
En muchos casos de probabilidades se recurre a técnicas de conteo como son las permutaciones, variaciones y combinaciones.
Permutaciones: Es una forma de ordenar a la totalidad de los elementos de un conjunto.
Se simboliza por Pn = n!
Ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Ej.: tenemos los números 1, 2, 3 ,4 y se quieren formar cifras de 4 dígitos.
P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24
Hallar las permutaciones.
El n! se puede calcular en la calculadora de la siguiente manera: si necesitamos 5!
Procedemos así: 5 shift x-1 en la pantalla debe aparecer 5! Luego le damos = y aparece como resultado 120.
Con la palabra AMOR ¿cuantas palabras se pueden formar?
Cuando uno o varios elementos están repetidos el cálculo de las permutaciones varía; en este caso nos referimos a PERMUTACIONES CON REPETICION, como ejemplo la palabra CAMA tendríamos un numero de palabras inferior a 24, en el caso que no se hagamos distinción en la letra A
La fórmula que debemos aplicar es Pn ( r = 2 ) =n! / r = 4! / 2 = 24 / 2 = 12.
VARIACIONES: Son permutaciones en las que implica un orden en la colocación de los elementos, pero que con la diferencia que se toma una parte de los elementos del conjunto.
n V r = n P r = Vrn son los diferentes símbolos, que pueden utilizarse y que se leen variaciones o permutaciones de n elementos tomados de r en r
n P r = n! / ( n – r)!
n es el total de elementos del conjunto y r es aquella parte de los elementos que se quiere permutar.
En el ejemplo de los números naturales 1, 2, 3 ,4 formemos cifras de 3 dígitos
123 213 321 413 132 231 431 124 214 314 412 142 241 341 421 134 234 342 423 143 243 324 432 321
4 P 3 = 4! / (4 – 3)!= 4! / 1! = 4! = 24
CONVINACIONES: Es un arreglo de 2 elementos sin importar el orden en que se dispongan.
La fórmula que se utiliza en el cálculo de las combinaciones es n C r = n! / ( n – r ) r! y se lee “ combinaciones de n elementos tomados de n en n”
Ej: tomemos los números naturales 1, 2 , 3, 4 , si se desea combinarlos ¿ cuantas combinaciones se podrán hacer?
R: solo una ya que al no importar el orden de la colocación da lo mismo
. 4C4 = 4! / ( 4 – 4)! 4! = 4! / 0! 4! = 4! / (1) 4! = 1
0! Es igual a uno, el cual se puede demostrar, utilizando la calculadora. 4 shift -:- 4 exe debe mostrar 1
