PROBABILIDAD GRADO 11

MAS DE PROBABILIDAD

Los eventos aleatorios no son predecibles con absoluta certeza, no obstante podemos medir el grado de confianza con que se hace un pronóstico, sobre la ocurrencia o no de un determinado suceso.


PROBABILIDAD A PRIORI O CLASICA


Si un evento puede ocurrir de n maneras, equiprobables y mutuamente excluyentes, de las cuales m maneras son favorables al suceso A; se define probabilidad del suceso A como:
Casos favorables al evento A
P(A) = m/n → P(A) =------------------------------------------------------------
Total de casos posibles del experimento
Ejemplo: en el lanzamiento de un dado,
A:{ obtener un número par`}= {2 , 4, 6 }


S = { 1 ,2, 3 ,4, 5, 6`}
Casos favorables al evento A
P (A) = m/N→ P(A) =------------------------------------------------------ = 3/6
Total de casos posibles del experimento






PROBABILIDAD “A POSTERIORI” O DE FRECUENCIA RELATIVA.


Si un experimento se repite n veces (n→∞) de las cuales m veces se presenta el suceso A, entonces es de esperar que: P(A) = lim (m/n) = P n→∞


La proporción de veces que se presenta el suceso A tiende a estabilizarse en un número entre 0 y 1 llamado probabilidad de A.


Si por ejemplo lanzamos un dado cien veces y observamos la presencia del número “2” en 16 veces, en tal caso P(A) = 16 /100.


PROBABILIDAD SUBJETIVA


En la probabilidad subjetiva intervienen preferencias y emociones del analista que en general, son diferentes para cada caso, por ejemplo, un apostador puede preferir el número “3” por qué su horóscopo lo recomienda.


AXIOMAS DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES


Para todo experimento, la probabilidad de ocurrencia de un evento A, P(A) , es una función que cumple con los siguientes axiomas:
1. P(A) ≥ 0 toda probabilidad es no negativa.
2. P(S) = 1 La probabilidad del espacio muestral es 1
3. Si dos o más sucesos son incompatibles entre si, entonces la probabilidad de la unión de ellos, es igual a la suma de sus probabilidades respectivas.
Si P(A∩B) =Ф→ P(AUB) = P(A) + P(B)
De aquí podemos fácilmente deducir que:
4. P(Ф) = 0. La Probabilidad de un evento imposible es igual a cero.
5. P(A) = 1 – P(A) La probabilidad de un evento es igual a la unidad menos la probabilidad de su complemento.
6. 0≤P(A)≤1 Toda probabilidad está definida entre la probabilidad del suceso imposible y la probabilidad del evento seguro.
7. Si A C B → P(A) C P(B)
8. Si A ∩B≠Ф → P (AUB)= P(A) + P (B) – P (A∩B).


Si dos eventos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección.


En el ejemplo del lanzamiento de dos dados;
A:(suma sea mayor que 5 pero menor de 10)


A= { 1.5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (6,1) (6,2) (6,3)}


P(A)= P { (1.5) 1.5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (6,1) (6,2) (6,3)} = m/n = 20/36
B= (la suma sea mayor que 8)
B= {(3,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
P (B)=p {(3,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
A ∩B= {(3,6) (4,5) (5,4) (6,3)}
P (A ∩ B)= p{(3,6) (4,5) (5,4) (6,3)}= m/n= 4/36
P(A U B)= p(A) + p(B) -p(A∩B)→ p (A U B)= ( 20 +10 – 4 )/36 = 26/36


PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA ESTADISTICA


Si tenemos los sucesos A, B en un experimento aleatorio, con p(B)>0, se llama probabilidad condicional a: p(A/B). La probabilidad de ocurrencia del evento “A” dado que ya se ha presentado el suceso “B”.
P(A/B)=p(A n B)/p(B) , p(B)>0
Ejemplo: a un grupo de personas se le pregunta sobre sobre la intención de voto para las próximas elecciones.




sexo
Intención Masculino
femenino
Total


Votará 140 80 220
No votara


40
60 100


total
180
140
320




P (M)= 180/320
P (V)= 220/320
P (F)= 140/320
P(n V)= 100/320
P (vote dado que es masculino)= p (V/M)= P(V n M)/P(M)= 140/320 180/320 =140/180
P (vote dado que es femenino)= p (V/F)=p(V n F)/p(F)= 80/140
INDEPENDENCIA ESTADISTICA
“A”, “B” eventos independientes ↔
P(A ∩ B)= p(A) .p (B)


Por ejemplo la probabilidad de obtener un número impar en el segundo lanzamiento de un dado, no depende de si en el primer lanzamiento se obtuvo un número impar.